Sementara ini menurut saya yang menjadi "biang kerok" perbedaan postulat mekanika kuantum antara satu buku dengan buku lain adalah bagaimana mendefinisikan operator yang mewakili observable. Ada buku yang mensyaratkan bahwa operator untuk observable adalah operator hermitan/simetrik tanpa secara eksplisit mengharuskan bersifat terbatas (bounded). Lebih lanjut, biasanya pada buku yang demikian dipersyaratkan bahwa ruang Hilbert yang menampung keadaan kuantum haruslah yang separable. Ini mungkin agar dapat diterapkan dekomposisi spektral dari suatu operator dalam bentuk yang cukup sederhana, yakni hanya menggunakan operasi penjumlahan (sum). Tambahan lagi, "seolah-olah" mereka menyatakan bahwa nilai keluaran hasil pengukuran observable hanyalah berupa swanilai (eigenvalue) yang sebenarnya hanyalah anggota dari spektrum titik (point spectrum) suatu operator.
Padahal, secara umum spektrum dari suatu operator itu dapat dipartisi menjadi 3 subhimpunan terpisah. Selain spektrum titik, ada juga spektrum kotinu dan spektrum sisa yang ketiganya mempartisi spektrum suatu operator. Selain itu, di antara observable jelas-jelas ada yang operatornya merupakan operator yang tak-terbatas (unbounded). Spektrum titik dari operator tak terbatas yang mewakili observable tersebut pun bahkan ada yang berupa himpunan kosong, alias tidak memiliki satupun swanilai. Dengan kondisi seperti ini, sementara ini menurut saya tidak ada keharusan untuk menetapkan bahwa ruang Hilbert yang menampung keadaan-keadaan kuantum harus bersifat separable.
Jika ditetapkan bahwa operator yang mewakili observable harus bersifat hermitan terbatas, maka memang operator tersebut akan bersifat swadamping (self-adjoint). Tapi jika tidak ditetapkan harus bersifat terbatas, maka operator hermitan belum tentu merupakan operator swadamping (self-adjoint). Lalu apa pentingnya membedakan apakah suatu observable diwakili oleh operator hermitan atau swadamping (self-adjoint). Nah, pentingnya adalah dalam hal menyatakan himpunan yang menampung nilai-nilai hasil ukur dari pengukuran observable. Jika kita memandang perlu untuk melibatkan partisi spektrum kontinu dari himpunan spektrum, maka jelas operator swadampinglah yang pantas untuk ditugaskan mewakili observable. Kenapa begitu? Karena untuk operator swadamping, spektrum kontinu dan spektrum titiknya dipastikan hanya memuat bilangan riil (sementara spektrum sisanya kosong). Hal ini tidak akan dijamin oleh operator hermitan. Tapi jika yang diakui sebagai nilai-nilai hasil ukur dari pengukuran besaran fisika adalah swanilai-swanilai, yang tidak lain merupakan anggota dari spektrum titik, maka memang dari tinjauan ini kita bisa mencukupkan diri dengan operator hermitan sebagai wakil dari observable. Namun demikian, perlu diketahui bahwa himpunan spektrum titik tidak selalu harus bersifat countable lho. Artinya, secara umum bisa saja anggota dari spektrum titik ada yang berupa nilai-nilai dalam suatu selang di garis riil. Iya sih memang swanilai dari operator hermitan memang selalu berupa bilangan riil, tapi ya itu, kan ada operator yang bahkan tidak punya swanilai. Kalau diperbolehkan operator yang tidak memiliki swanilai itu bersifat tak terbatas (unbounded) tapi hermitan, maka spektrum kontinu dari operator tersebut dapat memuat bilangan kompleks.
Jadi kok saya lebih sreg kalau untuk operator yang mewakili observable harus yang swadamping (self-adjoint). Kemudian ruang Hilbert yang dipakai juga tidak harus separable. Dengan begini, kita dapat lebih leluasa untuk menggunakan operator-operator yang tak-terbatas tanpa khawatir spektrumnya memuat bilangan kompleks. Konsekuensinya bagi saya, buku mekanika kuantum yang sedang saya tulis jadi harus merembet sedikit lebih luas melibatkan beberapa konsep seputar teori operator. Ini yang bikin penulisan buku mekanika kuantum saya tersendat-sendat karena harus banyak belajar lagi, banyak buka referensi, banyak merenung. Masih belum ada bayangan kapan bisa saya anggap selesai.
MMF VLOGS
Comments
Post a Comment